首先，让我们来做一个数学小测验：从表1中找出大于1的自然数，要求除了1和它自身外，不能被其他自然数整除。满足这样要求的数如表中黄色标记所示，这样的自然数叫质数，又称为素数。如果一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
表1 1-100的自然数
初看起来，这个小测验跟齿轮没有半点关系。但实际上，啮合的齿轮对中经常有一个或两个齿轮的齿数是素数。为什么齿轮对的齿数要设计为素数呢？这是因为如果两个齿轮齿数有一个非1的公约数，那么相同的两个齿啮合将更频繁，导致磨损或损坏加剧。如果齿数互为素数，那么，除1之外，二者没有其他公约数，因而在一个周期内，每个齿只接触其他齿一次。
让我们来看一个例子，如图1所示，大齿轮的齿数为65，小齿轮的齿数为51。把图示局部放大的两个齿A和B开始啮合的时刻记为零时刻，那么，要问这两个齿再次啮合时，大齿轮旋转了多少圈？答案是51圈，那么，在相同的时间内，小齿轮旋转了65圈。
让我们来看一下这两个齿轮齿数的约数。大齿轮齿数的约数分别为1，5，13，65；小齿轮齿数的约数分别为1，3，17，51。因此，从这可以看出，除了1之外，两个齿数再无最大公约数。因而这两个数的最小公倍数为两个齿数的乘积3315，也就是说A、B两个齿要再次啮合的话，需要经过3315次啮合之后才会再次相遇，即大齿轮要旋转51圈。
假设A、B两个齿是有故障或缺陷的齿，那我们总是希望它们两个啮合的周期越长越好。倘若两个齿啮合的周期比较短，在相同的时间内，必然啮合更加频繁，从而加剧磨损，缩短使用寿命。为了防止这样的情况出现，在齿轮设计时，总是希望提高彼此之间的啮合周期，那么，这就要求两个齿除了公约数1之外，没有其他的公约数，最小公倍数为两个齿数的乘积，这样能保证一个齿追逐另一个齿的时间是最长的，能减轻磨损，增加齿轮的使用寿命。这就是所谓的“追逐齿”设计。由于齿数为素数，因此瀑布图分析中的阶次也为素数。
既然有追逐齿设计，那么必然存在追逐齿频率。因为两个齿总是会在间隔一定的时间周期之后再次啮合，两次啮合的时间差即为追逐齿周期。定义追逐齿频率（FHT：Frequency of Hunting Tooth，也有称为HTF：Hunting Tooth Frequency）的计算公式如下
从上式可以看出，啮合频率除以相应的齿数（其中一个）为齿轮的转频，如果最大公约数为1，则追逐齿频率为一个齿的转频除以另一个齿的齿数。所以，追逐齿频率通常很小。如果两个齿轮的齿数互为素数，那么公约数为1，则FHT更小，这说明两个齿再次相遇的周期将更长。如前面两齿轮的齿数分别为51和65，由小齿轮在600rpm驱动大齿轮，啮合频率为510Hz，公约数为1，则FHT=510*1/(51*65)=0.154Hz。因此，要找出这些FHT，要求频率分辨率极高。由于FHT频率极低，所以对于齿轮的噪声贡献是微不足道的。当齿轮在一个稳定的速度运行时，FFT计算时所取的振动和噪声信号的时域长度建议使用追逐齿周期的整数倍长度。
如果一对齿轮的齿数的公约数除了1之外，还有其他的公约数，那么将存在多个FHT，并且公约数越大，HFT越高。如图2所示，大齿轮的齿数为50个，小齿轮的齿数为25个，大齿轮作为主动轮，转速为1000rpm，则它们的啮合频率为833.33Hz。两个齿数的公约数分别为1，5，25，则对应的FHT分别为0.667Hz，3.333Hz和16.667Hz。如果一个齿有问题，如存在损坏，那么这些频率也就是这个齿的敲击频率。而我们知道，齿轮常见的缺陷有齿形误差、来自外部碎片的损伤、表面磨损、点蚀、塑性变形、疲劳等故障形式。如果追逐齿频率越高，必然这些缺陷将加剧，从而缩短齿轮的使用寿命。
在一个啮合周期内，啮合的齿轮发生了进入啮合、脱离啮合、节线冲击等多次冲击过程，因此在齿轮的振动信号中必然包含了啮合频率fGMF及其高次谐波2fGMF、3fGMF、…等成分。相同的道理，对于追逐齿而言，也会出现谐波，但通常最大幅值出现在FHT的1次和2次谐波处，更高次谐波幅值低。追逐齿同样也存在调制现象，但通常以输入和/或输出转频为载波频率，以FHT为调制频率，如图3所示。同时边频带也可能出现在1倍的啮合频率和它的谐波处。由于FHT非常小，因此，要检测到它的边频带，需要极高的频率分辨率。
通过上述分析可以得出，如果啮合的齿轮不存在除了1之外的公约数，那么，一定程度上可以减缓磨损、增加使用寿命。因此，在齿轮设计时应按追逐齿原理来进行设计。
参考：
http://www.vibrationschool.com/mans/SpecInter/SpecInter50.htm
本文转自：何为追逐齿设计
