继上一篇文章《浅谈新能源汽车NVH—永磁同步驱动电机径向电磁力致噪声的来龙去脉》 在模态空间公众号发布之后，许多NVH前辈和同学添加了我的微信和我交流，有一些问题被反复地讨论到，这其中主要是关于气隙电磁力波的空间分布以及随时间变化的频率特性方面的问题，例如：为什么对电磁力空间分布的数据进行傅里叶分解就能得到所谓空间阶数、这个阶数和“力型”是怎样的关系、电磁力波在气隙中究竟是怎样的存在形式，为什么电磁力波空间形状会保持不变等等。所以我决定针对电磁力波的时空特性做一点补充。
1、从傅里叶说起
这里真的要推荐一下一篇文章《如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧》（自行上网搜索即可），全文看完我就记住了一句话“你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。”，哈哈。以下我只放一个维基百科的动图，来帮助读者深刻理解傅里叶变换的本质。
任何周期信号都可以分解成以三角函数为基波及其高次谐波的组合，这便是我们所说的傅里叶级数分解；任意信号都可以分解为具有所有频率成分的无限多个无限小的谐波的组合，这便是我们所说的傅里叶变换；还记得我们学振动力学时候，对于线性系统的强迫振动的分析方法吗，不就是利用我们上述的原理，将激励分解成一系列的谐波，分别求出谐波对系统的响应，再利用叠加原理合成我们总的响应。好了，这里只说这么多，相信我推荐的那篇文章讲得很透彻，这里只是为下面介绍电磁力波的时空特性做一点铺垫。
2、空间阶次与力型
在之前的文章里面已经写过了，但是有一些读者还是没有理解如何由电磁力的空间分布函数通过傅里叶分解得到所谓的“力型”，这里做更详细的解释。
某一时刻电机气隙电磁力沿机械角度的一个分布如图2所示：
显然，电磁力沿电机机械角度的分布是具有一定周期规律的，这里我们将极坐标下函数图像转换到直角坐标系下，也就是将上图力波幅值沿电机机械角度分布的转换为以横坐标为角度，纵坐标为幅值的力波幅值随角度变化的信号，如图3：
上图是一个周期函数，有了上图的数据，我们就可以通过傅里叶变换将其分解为各次空间谐波的组合，能得到的是一系列以阶次为横坐标的谐波，0°到360°空间角度内存在0个周期的谐波我们称之为0次谐波，即一条直线，也称之为0阶；仅有一个周期的谐波我们称之为一次谐波，即一阶；仅有两个周期的称之为2次谐波，即2阶，依此类推。所谓几阶，实际上指的就是谐波在0°到360°内存在的周期数。如果对阶次域这个概念熟悉的话，你会发现，这里的变换本质上就是角度域的数据通过傅里叶变换到阶次域。变换过程如图4所示：
如果你对阶次域不熟悉的话，让我们换一个角度来看，从采样的角度来考虑，假定上图0°到360°的数据我们一秒钟采集完，也就是上面的数据变成了一个时长1秒的时域信号（即角度域的数据转换到时域，它们之间有对应关系），对其傅里叶变换，得到了它的频谱，即分解成了一系列的时间谐波。这就是大家根深蒂固的通过傅里叶变换实现时域到频域的转换。
那么这一秒内存在一个周期的时间谐波就对应频谱上的1Hz，一秒内存在两个周期的时间谐波就对应频谱上的2Hz，依此类推，这里的频谱就和上述的阶次谱是相对应的。频谱的0Hz对应时域一条直线，一秒内0个周期，即对应空间0阶；频谱1Hz对应时域频率为1Hz的时间谐波，一秒内一个周期，对应空间1阶；频谱2Hz对应时域频率为2Hz的时间谐波，一秒内两个周期，对应空间2阶。那么假如我是两秒采集完呢，也就是我们上述0°到360°角度域数据转换为一个两秒的信号，同样的，那就是频谱0.5Hz对应为1阶，1Hz对应为2阶，说白了我们关心的只是总时长内（空间角度一周）谐波的周期数而已，有一个周期就是一阶，两个周期就是二阶，这里的本质就是我们第一小节讲的任何周期信号都可以分解成以三角函数为基波及其高次谐波的组合，傅里叶变换本身是数学工具，不要被人为添加的物理意义而迷惑了。
到这里，我们已经得到了空间阶次了，有不少讨论者问我得到了空间阶次频谱怎么得到“力型”呀，这里如果你对空间阶次怎么得到的过程非常清晰的话，就不会有这个问题了。
我们将极坐标下的角度域数据转换成直角坐标系下的数据，通过傅里叶分解成一系列的谐波，那么我们再把这些直角坐标系下的谐波画到极坐标系下就得到了所谓的“力型”。如图5所示：
后面的高次力波也是按照这样的规律就可以得到所谓的“力型”，仔细看看这些力型，你会发现几阶力型不就是0°到360°内几个周期的正弦波在极坐标下的转换图形嘛，所以这里的空间阶次、所谓“力型”就是一个东西，这里面极坐标和直角坐标的变换、角度域与阶次域的变换需要好好理清楚，引入时域到频域的变换只是为了帮助理解，因为很多时候我们对通过傅里叶从时域转换到频域这一认知根深蒂固，而对角度域转换到阶次域相对陌生，尤其是学电机的工程人员，对阶次这个概念相对陌生。
3、电磁力波的时间频率
我们知道，电磁力波不仅仅是空间的函数，更是时间的函数，沿电机机械角度方向气隙各点的电磁力大小在随时间不停的变化，那么问题来了，我们一方面说电磁力波沿着空间分布有一定的形状，还给它取了个好听的名字叫“力型”，一方面又说沿电机圆周方向各点的电磁力大小随时间一直在变化，这个变化会打破他们的“队形”序列嘛？当然不会，当各点的电磁力幅值大小按照一定的相位和频率脉振时，宏观上来看，电磁力波的形状是不会改变的，但是它会旋转起来，这正是电磁力波随时间变化的体现。正是这些各个点的电磁力都按照同一频率和初始相位关系在不停的脉振变化，让电磁力形状得以保持，不停地匀速旋转，以电机二阶径向力波为例，来看看图6：
看了这个动图，相信大家对电磁力在时间和空间上的特性有了非常直观的了解，你会发现电磁力波的时间频率和所谓“力型”的转速之间是存在特定关系的，事实上它们和电机转速之间都存在着特定的关系，这都来源于电机电流随时间的变化，也正是它们之间这些特定的关系（电磁力波频率与电机转速的特定关系），让我们可以在测试瀑布图上能够以阶次特征捕捉到这些电磁力波。
好了，以上就是我根据之前和一些读者的讨论作的一些更为详细的补充。限于篇幅，也因为本人的学识水平有限，文中难免出现表述不当，甚至有错误的地方，恳请各位读者专家们不吝指正，以便我及时更正，同时也提高自身的认知水平。
感谢您的阅读！
作者简介
朱碧华，华中科技大学机械科学与工程学院在读硕士研究生。私人微信：zbh1103450573欢迎各位前辈和同学指正和交流（请备注姓名和单位，谢谢）
